Le texte que le Café pédagogique a bien voulu mettre en ligne début juin a déjà suscité quelques réactions dont celles de David Lefèvre, Roland Charnay et Joël Briand, qui, elles aussi, ont été mises en ligne sur le Café. Ces réactions sont très différentes. La première souligne que l'article est "long et passionnant" et l'auteur y dit d'emblée que ses points d'accord sont très nombreux. Il n'en exprime pas moins de sérieuses réserves quant à la façon dont, à la fin du texte, j'ai parlé des situations-problèmes et des problèmes de recherche. J'ai vraisemblablement abordé trop brièvement ce sujet et je le ferai plus longuement ici.

Les deux autres textes, en revanche, sont essentiellement critiques. Mais, surtout, le ton en est vif. De manière évidente, Roland Charnay et Joël Briand auraient préféré que mon texte ne comporte aucune critique des programmes actuels et de leurs documents annexes. J'avais pourtant, il me semble, adopté une attitude pondérée. Conscient des dangers de la conjoncture actuelle, j'ai assorti mon propos d'un appel à la prudence en disant : "qu'il ne convient pas de condamner et de bouleverser les pratiques pédagogiques actuelles". Concernant la division et les fractions, j'indiquais explicitement que le problème principal se situe dans la lecture "officielle" des programmes telle qu'elle ressort des "documents d'application", alors que d'autres lectures sont licites. Par ailleurs, à aucun moment, je n'appelle à une révision immédiate des programmes, préférant dire : " … on voit assez bien ce que pourrait apporter une amélioration des programmes et il faut favoriser une démarche sereine d'élaboration de ces futurs programmes". J'appelle plutôt, dans cette perspective, à "favoriser le débat", à " confronter les points de vue " et à "prendre le temps nécessaire". Malgré cette pondération, la fin de mon texte a conduit Roland Charnay et Joël Briand à écrire des réponses dont le ton n'est pas feutré. À la lecture de leurs textes, il est vraisemblable qu'un grand nombre de personnes ont pu douter que le débat soit serein et fructueux comme je l'avais espéré.

En fait, au-delà de leur forme, les textes de Roland Charnay et Joël Briand comportent, comme celui de David Lefèvre, certaines analyses précises et il me semble que, contre l'apparence, le débat progresse. C'est ce que j'essaierai de montrer ici. Mais auparavant, il me faut rappeler que l'objectif premier de mon texte précédent était de montrer que, concernant le calcul et la résolution de problèmes, il n'y a pas de paradis pédagogique perdu. Je voudrais aussi souligner que je me suis efforcé d'argumenter "en héritier de la réforme de 1970".

Débattre en héritiers de la réforme de 1970

Roland Charnay et Joël Briand se sont focalisés sur la partie finale de mon texte, celle qui est critique vis-à-vis de certains aspects des programmes actuels et de leurs documents annexes. Or, plus d'un tiers de ce texte (10 pages sur 28 dans la version imprimable) est consacré à une analyse des progressions pédagogiques concernant la division qui ont prévalu de 1945 à 1970. En rédigeant cette partie, je souhaitais prendre au sérieux l'idée d'un éventuel retour à l'enseignement de la division et de son formalisme dès le CP, analyser comment progressaient les élèves qui, à l'époque " s'en sortaient " et expliquer pourquoi certains choix pédagogiques (celui d'assimiler sur une longue durée la division au partage, celui d'enseigner la résolution de problèmes à partir de " résolutions types ", par exemple) faisaient en réalité obstacle au progrès des autres élèves sur le long terme. Dans la suite du texte, j'ai essayé de montrer qu'il existe aujourd'hui des progressions qui se fondent sur une analyse critique des pratiques antérieures à 1970 et qui, par conséquent, tentent d'en conserver les points forts tout en se préservant de leurs points faibles. Ce faisant, la moitié du texte est largement dépassée (15 pages sur 28) et un propos extrêmement important se trouve ainsi argumenté de manière serrée : on comprendrait mal, aujourd'hui, un éventuel retour aux programmes de 1945 car cela conduirait assurément à moins de réussite, c'est-à-dire à l'effet inverse que disent viser les défenseurs de cette contre-réforme.( 1 )

Or, au moment où je rédigeais ce texte, j'avais bien conscience que les arguments avancés pour critiquer les pratiques d'avant 1970, conduisent aussi à critiquer certains points des programmes actuels, et des points qui sont loin d'être mineurs (ils concernent la conceptualisation de la soustraction, de la division, des fractions…). J'ai donc pensé (et je pense toujours) qu'il n'était pas possible de m'arrêter là et que je ne devais pas le masquer.

Mais revenons à la première moitié du texte. Pourquoi peut-on dire que j'ai essayé d'y débattre en "héritier de la réforme de 1970" ? Pour répondre à cette question, il faut prendre un peu de recul historique et s'intéresser à l'évolution des programmes depuis 1a naissance de la Troisième République jusqu'à cette date (le lecteur pourra se reporter à l'excellent article de Renaud d'Enfert, 2006). Entre 1882 et 1970, les programmes de l'école primaire ont été modifiés principalement en 1923 et 1945. On ne peut pas rendre compte de ces évolutions, sans considérer qu'au point de départ, il n'y a pas un, mais deux systèmes scolaires en France qui fonctionnent en parallèle dès les petites classes : un système court (appelé école primaire) et un système long (appelé école secondaire). Alors que les mots "primaire" et "secondaire" renvoient aujourd'hui au fonctionnement successif dans le temps d'un seul réseau d'enseignement, ils renvoyaient à l'époque aux fonctionnements en parallèle de deux réseaux aux finalités et aux contenus d'enseignement très différents.

Renaud d'Enfert nous dit ainsi que l'enseignement primaire est un enseignement court et pratique, voire "utilitaire" alors que l'enseignement secondaire est un enseignement long, théorique et "désintéressé". Les programmes de 1945 et le fait qu'on enseigne les 4 opérations dès le CP trouvent leur origine dans les programmes de 1882 pour l'école primaire : comme le temps d'enseignement est court (la "scolarité obligatoire" s'arrête alors à 13 ans), pour être sûr que les élèves sortent de l'école avec les savoirs pratiques appropriés, il convient de les enseigner d'emblée et de répéter cet enseignement tous les ans, tout en l'approfondissant (c'est la fameuse "méthode concentrique"). Cette méthode sera officiellement abandonnée en 1923, notamment parce qu'elle instaure l'ennui en classe. Cependant, comme l'enseignement des 4 opérations dès le CP, lui, perdurera jusqu'en 1970, il n'y aura pas, avant cette date, de franche rupture avec la méthode concentrique.

Diverses sortes de légitimations sont invoquées pour expliquer les quelques évolutions des programmes entre 1882 et 1970 :

• Des légitimations qui sont d'ordre économique et social : la France a besoin de travailleurs mieux formés, par exemple.
• Des légitimations d'ordre idéologique : on imagine aisément que, de ce point de vue, les tenants d'un humanisme universaliste s'opposent aux idéologues de la résignation sociale (il serait dangereux pour la société de trop instruire des enfants qui, par leur naissance, sont appelés à occuper des emplois subalternes).
• Des légitimations d'ordre pédagogique : promouvoir l'activité de l'enfant pour lutter contre l'ennui et favoriser l'épanouissement, par exemple, mais aussi, et pour d'autres pédagogues : il convient d'apprendre aux enfants à distinguer d'une part les connaissances mathématiques que le maître leur démontre de manière rationnelle et d'autre part celles qu'il ne juge pas nécessaire de leur démontrer rationnellement et dont ils doivent accepter la vérité parce que la parole du maître est celle d'une personne qui connaît cette vérité, etc.

Il faut bien voir que la distinction entre les légitimations d'ordre idéologique et celles d'ordre pédagogique est, à cette époque, bien floue et qu'il n'est guère de discours pédagogique qui ne se réfère à l'idéologie qui le fonde.

Que représente la réforme de 1970 dans ce contexte ? Elle correspond au moment où s'instaure un accès de masse à l'enseignement secondaire. L'école primaire perd de sa finalité propre pour devenir propédeutique à cet enseignement secondaire. L'enseignement des mathématiques peut dès lors être programmé sur le long terme. Il n'y a plus d'impératif à enseigner les 4 opérations dès le CP ! Ce changement dans les paramètres temporels de l'enseignement des mathématiques va permettre l'irruption dans les programmes d'un type de légitimation des évolutions proposées qui est radicalement nouveau. Concernant la soustraction, par exemple, on lit :

"Le fait que les égalités 8 + 7 = 15 et 15 - 8 = 7 ont même signification est difficilement compris par les enfants de cours préparatoire. Aussi paraît-il indiqué de n'introduire la soustraction, avec son signe, qu'au cours élémentaire."

Ceci peut se reformuler de la manière suivante : il est difficile pour un enfant de CP de comprendre que le nombre qu'il faut ajouter à 8 unités pour en avoir 15 (à savoir, 7 unités) est aussi le résultat du retrait de 8 unités à 15 unités. Ou encore : il est difficile pour un enfant de CP de s'approprier l'équivalence entre la procédure de recherche de la valeur d'un complément et celle de recherche du résultat d'un retrait. Et il est implicite dans le propos tenu, qu'il conviendrait mieux de n'introduire le signe « - » que lorsque celui-ci peut fonctionner comme symbole de cette équivalence. Ce type d'argument pédagogique est complètement nouveau parce qu'il apparaît peu lié aux conceptions idéologiques de celui qui le tient. Il se fonde plus dans deux sortes de considérations :

1. des considérations épistémologiques (quelle sorte de connaissance est celle d'un "authentique signe « - »" , c'est-à-dire d'un symbole arithmétique qui ne soit pas une simple abréviation sténographique des verbes dont la sémantique est du côté du retrait ?) ;
2. des considérations psychologiques : en 1970, il y avait plus de 25 ans que Piaget parlait de la difficulté des jeunes enfants à accéder à la "réversibilité".

Il faudrait faire des recherches historiques plus précises, mais il se peut qu'il s'agisse là, en 1970, de l'acte de naissance des arguments de type strictement didactique. Ceux-ci apparaissent comme des arguments pédagogiques particuliers. Ils trouvent leur origine dans des considérations épistémologiques et psychologiques. Ils sont par conséquent moins liés aux conceptions idéologiques de celui qui les tient que ne le sont généralement les arguments pédagogiques.

Dans l'article initial, c'est donc tout à fait intentionnellement que je n'ai pas amorcé le débat avec les membres du Groupe de Réflexion Interdisciplinaire sur les Programmes comme le fait Roland Charnay en demandant à ces personnes qu'elles "présentent les fondements de leurs déclarations en relation avec l'idéologie qui les anime". Ce n'est probablement pas en mettant en doute l'humanisme des membres du GRIP qu'on a quelque chance de les amener à considérer plus favorablement l'évolution des pratiques pédagogiques et des programmes depuis 1970. J'ai donc, comme je l'expliquais plus haut, pris au sérieux l'idée d'un retour à l'enseignement de la division conformément aux pratiques d'avant 1970 pour montrer, à l'aide d'arguments de nature didactique (épistémologique et psychologique), que ce serait, en termes d'efficacité de l'école, un "choix perdant". Cette démarche n'est pas si banale et il est quelque peu vexant que Joël Briand et Roland Charnay considèrent cette partie essentielle de l'article initial comme un simple prétexte aux critiques de certains points des programmes et de leurs documents annexes.

Un premier consensus qui commence à émerger : symbolisme arithmétique et conceptualisation de la division

Avant d'expliciter ce qui apparaît comme une bonne nouvelle, qu'on me permette de répondre à une objection que Roland Charnay juge fondamentale puisqu'il écrit que : "Il y a là une sollicitation abusive des textes qui met à mal une bonne partie de l'argumentation de Rémi Brissiaud". Ne pas y répondre risquerait également de mettre à mal l'argumentation qui suivra, celle qui conduit à penser qu'un consensus commence à émerger à propos de ce thème.

Roland Charnay me reproche d'avoir écrit que les documents d'application programment la division posée au CM2. Il rappelle que :

"Le tableau auquel se réfère Rémi Brissiaud propose d'approcher, de préparer la division posée dès le CE2 et de la construire et de la structurer au CM2. Rien n'empêche donc de poser des divisions, avec la potence, dès le CE2 pour préparer une technique qui peut n'être effectivement stabilisée qu'au CM2 ".

Dans la première phrase de la citation précédente, les quatre mots mis en gras (de mon fait) sont effectivement ceux qu'on trouve dans les documents d'application (il y est de plus précisé que l'année suivante, au CM1, les enseignants sont toujours dans cette phase d'approche et de préparation). Dans la seconde phrase, celle où Roland Charnay reformule la première et, donc, ce qui est dit dans les documents d'application, on ne trouve plus que deux mots (mis en gras également de mon fait) : "approcher, préparer" a été remplacé par "préparer", ce qui n'a rien d'étonnant, mais "construire, structurer" a été remplacé par "stabiliser" et, dans ce cas, l'idée de "construction" a disparu. Je ne voudrais pas entretenir une mauvaise querelle terminologique, mais si ma seule erreur a été de considérer que la préconisation de construire la division posée au CM2, incite à ne poser ses premières divisions qu'à ce moment de la scolarité, il me semble que quiconque cherche à comprendre ce passage du document d'application à partir de la signification habituelle des mots, ferait la même interprétation. Joël Briand, d'ailleurs, parle à propos de ce passage des documents d'application d'"erreur de programmation". Mais venons-en au consensus naissant.

Je parle dans mon texte de "conceptualisation" de la division, plutôt que de "compréhension" de cette opération pour souligner l'aspect constructif de ce processus de compréhension. Et c'est évidemment en tant que psychologue que j'utilise le mot "constructif", c'est-à-dire en un sens technique. Ainsi, au sens piagétien du terme, le constructivisme renvoie à l'idée qu'en mathématiques :

1. le progrès des enfants a partie liée avec la découverte de propriétés relatives à leurs actions : la découverte de l'équivalence entre la recherche de la valeur d'un complément et le résultat d'un retrait, par exemple, ou encore : la découverte de l'équivalence entre la recherche de la valeur d'une part lorsqu'on partage une collection en n parts égales et celle du nombre de groupes de n unités qu'il est possible de former à partir de la même collection ;
2. cette découverte se réalise très souvent "en acte" et il faut donc, comme le fait Piaget (1974), distinguer deux compréhensions, l'une "en actes" (qui correspond à la réussite de l'action) et l'autre "en pensées" (qui correspond à ce qu'on appelle habituellement la compréhension ) : "réussir c'est comprendre en action une situation donnée à un degré suffisant pour atteindre les buts proposés, et comprendre c'est réussir à dominer en pensée les mêmes situations jusqu'à pouvoir résoudre les problèmes qu'elles posent quant au pourquoi et au comment des liaisons constatées et par ailleurs utilisées dans l'action" (p. 237) ;
3. la conceptualisation correspond au moment où la compréhension de l'action vient rattraper sa réussite parce que cette compréhension s'effectue en pensée ; il n'y a pas de conceptualisation sans processus de prise de conscience et sans symbolisation. ( 2)

D'où la question que j'ai posée : comment peut-on espérer favoriser la conceptualisation de la division avec reste, lorsqu'on ne dispose que tardivement d'un symbole pour cette division ? Très souvent aujourd'hui, les maîtres n'introduisent un symbole, le plus souvent la potence, qu'au CM1. Ce faisant, ils ne suivent pas à la lettre la recommandation de programmation qui figure dans le document d'application des programmes mais, même au CM1, je pense que c'est une année trop tard.

Les documents d'application des programmes passent complètement sous silence ce problème majeur ou, plutôt, ils s'en accommodent en toute sérénité. Ils disent (p. 27) :

"Pour la division euclidienne, il n'existe pas de signe conventionnel pour le quotient entier. Pour rendre compte complètement du calcul (quotient entier et reste), l'égalité caractéristique de la division est utilisée 37 = (5 x 7) + 2 (en soulignant que le reste est inférieur au diviseur)."

Alors que Roland Charnay a coordonné la rédaction du document dont est extrait le passage précédent, il s'exprime aujourd'hui de façon très différente :

"La question du signe de la division est une question récurrente, souvent mal tranchée, ce qui n'est pas sans conséquence sur certaines difficultés rencontrées par les élèves."

Le débat progresse : il est raisonnable de penser que s'il coordonnait aujourd'hui une nouvelle rédaction des documents d'application, il attirerait l'attention des enseignants sur ce problème important.

De plus, Roland Charnay examine la solution que j'ai avancée à ce problème : "Rémi Brissiaud propose une solution "simple" (selon lui) qui consiste à écrire 163 : 50 ? et à répondre q = 3 et r = 13. Cette proposition mérite d'être discutée, car elle ne souffre pas des inconvénients majeurs de notations comme 163 : 50 = 3 (reste 13) parfois utilisées". Il critique ensuite cette solution mais l'essentiel n'est pas là. Lui-même en propose une autre, utilisable selon lui dès le CE2. C'est le signe que le problème didactique posé peut difficilement rester sans solution :

"Rien n'interdit à un enseignant, dès qu'il aborde la division, de faire écrire quelque chose comme

notation qui sera réutilisée au moment de la mise en place de la technique de calcul posé."

Soulignons d'abord le fait qu'un premier consensus commence à émerger : si l'on veut que les élèves s'approprient le concept de division sur une longue durée à l'école primaire (du CE2 au CM2), il est nécessaire qu'ils disposent dès le CE2 d'un symbole de l'équivalence entre le partage en n parts égales et le groupement par n.

Venons-en ensuite aux critiques que Roland Charnay fait de ma proposition. La principale se fonde dans le fait qu'il existe deux divisions : celle avec reste et la " division exacte " (pour partager 21 images en 4, on utilise la division avec reste, et pour partager 21 brioches en 4, la "division exacte" car la brioche restante peut être partagée). Il pense qu'alors, ces deux concepts seront symbolisés à l'identique par le symbole ":" tandis qu'il s'agit de deux concepts mathématiques différents.

Cette objection est un peu précipitée. Lorsqu'on écrit "21 : 4 ?" pour symboliser la division avec reste de 21 par 4 (avec q = 5 et r = 1 comme résultat), dans cette formule, ce ne sont pas seulement les deux points qui symbolisent la division avec reste, c'est l'ensemble formé par les deux points et le point d'interrogation : "21 : 4 ?". Or la "division exacte", elle, est symbolisée de la manière suivante "21 : 4 = …". La division exacte est ainsi symbolisée par un ensemble "syntaxiquement" différent, celui formé par les deux points et le signe "=". Le résultat de cette "division exacte" s'exprime soit sous la forme "21 : 4 = 5 + 1/4" (car dans la "division exacte", le reste 1 est partagé en 4), soit sous la forme "21 : 4 = 5,25" qui revient au même ici. Si on prend soin de "travailler" la différence conceptuelle entre les deux sortes de divisions, le fait que les deux ensembles qui symbolisent ces deux divisions ont une partie commune n'entraîne pas de confusion parmi les élèves. Cela est attesté par les dizaines de milliers d'élèves qui manient ces deux écritures au CM depuis près de 10 ans (celle de la division avec reste dès le CE2) et cela peut se vérifier sans difficulté. Par ailleurs, il est légitime que les ensembles de symboles utilisés pour la division avec reste et la division exacte aient une partie commune : bien que différentes, ces deux divisions ne sont évidemment pas sans signification commune.

Reste une objection : "cette notation n'a pas d'avenir pour les élèves, en dehors du contexte de la classe : elle n'est ni reconnue par la communauté mathématique, ni utilisée dans la suite de la scolarité". Ceci ne paraît pas bien grave : il est vrai que la communauté mathématique ne dispose pas de symbole pour distinguer les deux sortes de divisions, mais c'est parce qu'au-delà de la phase d'apprentissage, le problème perd considérablement de son importance. Et, donc, le fait que ces notations (celle de la division avec reste et celle de la "division exacte") aient un avenir au sein de la classe tout le temps du cycle 3 de l'école primaire suffit largement à justifier leur emploi.

Que penser de la solution alternative avancée par Roland Charnay, à savoir l'utilisation de la potence dès le CE2, non pas comme mode d'organisation qui sert de support et d'aide à l'effectuation d'un calcul mais comme mode d'expression de l'opération, des nombres sur lesquelles elle porte (dividende et diviseur) et des deux nombres qui en sont le résultat (quotient et reste) ? Elle a l'inconvénient suivant : même si ce n'est pas le cas dans un premier temps au CE2, très rapidement, la potence fonctionnerait pour les élèves à la fois comme support et aide au calcul d'une division posée et comme mode d'expression de l'opération. Cela ne favoriserait guère l'usage d'autres stratégies de calcul du quotient et du reste que celles qui sont privilégiées lors du calcul d'une division posée. Comme l'un des principaux enjeux de l'usage d'un tel symbolisme est de favoriser l'accès à des stratégies diverses face au même symbolisme, on voit que cet inconvénient n'est pas mineur.

Un second consensus qui commence peut-être à émerger : "faire des mathématiques, ce n'est pas seulement résoudre des problèmes"

Cette proposition n'est évidemment pas indépendante de la distinction faite par Piaget entre "réussir" et "comprendre (en pensée)" qui a été rappelée plus haut. Il ne suffit pas de réussir à résoudre des problèmes, il convient aussi de comprendre le pourquoi et le comment de cette réussite pour qu'elle ne reste pas sans lendemain. Les didacticiens des mathématiques, pour aborder ce sujet, distinguent les connaissances que les élèves mobilisent face à un problème (leurs modèles implicites d'action) et les savoirs que l'institution scolaire se doit d'enseigner aux élèves( 3 ). Et leur point de vue est très piagétien parce qu'ils considèrent généralement que tout ce que les élèves "font", mais qui n'est pas assez rapidement reconnu, dit ou "récupéré" dans un système de savoirs, sera perdu.

Rappelons que dans l'article initial, cette question a été abordée en se référant à un texte récent d'Alain Mercier (2006)( 4 ) qui a été mis en ligne sur le site EducMath. Roland Charnay revient sur le texte d'Alain Mercier. Il le cite même largement :

"… Si pour apprendre comment résoudre des problèmes il faut en rencontrer, c'est dans le cadre d'une situation didactique qu'il faut le faire ; faute de quoi il n'y a pas de raison de progresser plus rapidement que le progrès historique. On comprend alors que le slogan de la "résolution de problèmes" permet de nier l'importance des conditions didactiques et de proposer, sous le prétexte qu'il a plus de sens, un enseignement qui ne s'adresse plus qu'aux rares élèves capables de tirer profit par eux-mêmes de leurs rencontres aléatoires"

Mais, de manière surprenante, il analyse cette prise de position ainsi : Alain Mercier "ne dit pas autre chose que ce qui est mentionné dans les documents d'application qui évoquent "des activités bien choisies et organisées par l'enseignant" (idée développée dans un des documents d'accompagnement). On est loin des «rencontres aléatoires…»."

Or, quand on lit le texte d'Alain Mercier d'une part et les programmes et leurs documents annexes d'autre part, on a du mal à conclure à une identité des deux points de vue. Fait-on un contresens si on comprend qu'Alain Mercier attire notre attention sur un déséquilibre, qui s'est installé au cours de ces 10 dernières années, entre l'importance accordée dans le discours de formation au fait que les élèves soient mis en " situation de résolution de problème ", c'est-à-dire en situation de recherche, et la moindre importance accordée aux savoirs et aux conditions de leur construction ?

D'ailleurs, cette idée d'un déséquilibre est reprise par Jo