Roland Charnay

Dans un long développement publié sur le Café pédagogique et intitulé "Calcul et résolution de problèmes arithmétiques : il n'y a pas de paradis pédagogique perdu", Rémi Brissiaud condamne sans ambiguïté les propositions de retour à l'enseignement des 4 opérations (et en particulier de la division) dès le CP, met en cause certains aspects des programmes de 2002, en établissant un rapprochement entre les choix opérés et les travaux de l'équipe ERMEL et développe une proposition pour un enseignement de ce qu'il appelle "la conceptualisation de la division".

Etant cité par Rémi Brissiaud comme "père des programmes de 2002" et "principal coordinateur de l'équipe ERMEL( 1 )" , je me propose de développer quelques arguments sur certains des thèmes qu'il aborde, en signalant d'abord que ces thèmes ne recouvrent ni toute la problématique de l'enseignement du calcul à l'école primaire ni, évidemment, l'ensemble du programme de mathématiques. En particulier, je souhaite indiquer pourquoi je ne peux laisser sans réaction certaines de ses déclarations et pourquoi je m'oppose également à un retour au programmes de 1945 et à l'enseignement des 4 opérations au CP.

Réflexion générale sur les programmes : ce qu'ils disent et ce qu'ils ne disent pas

Tout choix relatif à l'enseignement (programmes, élaboration de dispositifs d'enseignement, conduite d'une séance, évaluation…) prend appui, implicitement ou explicitement sur un grand nombre de références, d'essence philosophique (quel homme voulons-nous former ?), sociale (quels sont les savoirs mathématiques nécessaires au futur citoyen, travailleur, consommateur… ?), épistémologique (qu'est-ce qu'une culture mathématique ?), mathématique (quels aspects des concepts faut-il enseigner ?), didactiques (que sait-on des modalités de transmission des savoirs, comment organiser cette transmission sur le long terme ?), psychologiques (quels faits et quelles théories peuvent éclairer la mise en place des apprentissages ?), etc. Autant dire qu'une seule approche ne saurait déterminer, à elle seule, les décisions à prendre.

Ce qu'indiquent les programmes

En raison de la complexité qui vient d'être évoquée, les programmes, pour une période donnée, indiquent les contenus à enseigner, et, sachant qu'une liste de contenus ne suffit pas pour énoncer ce qui est effectivement attendu des élèves, précisent les connaissances et les compétences qui doivent être maîtrisées à l'issue d'un cycle d'apprentissage. Il faut d'ailleurs immédiatement signaler que ce terme de " compétences " n'est pas sans ambiguïté et fait courir le risque d'une approche " parcellisée " des savoirs dont il convient de se prémunir. Dans le souci d'aider les enseignants et de garantir un certain niveau de cohérence dans l'enseignement dispensé, les programmes, prennent position sur quelques grandes orientations concernant les conditions dans lesquelles les savoirs peuvent être transmis. Cette cohérence touche à l'organisation des contenus, elle vise également à assurer chez les élèves une perception aussi peu déformée que possible de la fonction des mathématiques et de ce qu'est l'activité mathématique, tant il reste vrai que l'élève s'instruit autant de ce qu'il apprend que de la manière dont il apprend( 2 ). Les mathématiques ne se limitent pas à un ensemble de concepts, de résultats et de techniques, elles sont plus largement axées sur le raisonnement, la justification et la preuve, la capacité à résoudre des problèmes " connus " ou inédits… De la même manière, l'enseignement des mathématiques ne peut se limiter à faire ingurgiter aux élèves des résultats, même accompagnés d'explications, transmis directement, répétés, puis appliqués. L'apprentissage suppose un processus d'appropriation, de re-création pour soi à partir de la confrontation à des situations aménagées, à des interactions avec autrui (les autres élèves ou le maître), à des apports de l'enseignant ou à des informations puisées à d'autres sources.

Enseigner se fait toujours, quoiqu'on prétende, en relation avec des choix très larges, dont certains sont pédagogiques et idéologiques, car il y aussi un idéologie sous-jacente à tout enseignement. C'est finalement ce qu'exprime Guy Brousseau( 3 ), dans une réponse à une question de Michel Brossard : "Il faut bien voir qu'il y a une idéologie humaniste dans ma démarche et que celle-ci a des conséquences. Si je souhaite que les élèves rencontrent dans l'enseignement, la possibilité d'éprouver par eux-mêmes la validité d'un théorème ou de quoi que ce soit qu'on leur enseigne, ce n'est pas seulement parce que je crois qu'il sont capables de le faire ou parce que je crois que cela leur sera utile. C'est parce que je me fais une certaine idée de ce qu'est un homme : vouloir faire produire par des élèves un processus par lequel ils deviennent les auteurs de ce qu'ils font, les propriétaires de ce qu'ils savent, les responsables de ce qu'ils disent, les participants, avec d'autres à une civilisation, à une société ou à quelque chose comme cela, tout en étant eux-mêmes, possiblement différents des autres".

Si on appelle cela la pédagogie, ceux qui prônent un retour aux contenus et méthodes de 1945 ne sont donc pas moins "pédagogues" que ceux qu'ils accusent de l'être… alors même qu'ils agitent ce terme comme une injure. Il serait utile qu'eux aussi présentent les fondements de leurs déclarations en relation avec l'idéologie qui les anime.

Ce que n'indiquent pas les programmes

Les programmes ne règlent pas, en revanche, la question des stratégies particulières que les enseignants peuvent mettre en œuvre pour atteindre les objectifs fixés. C'est d'ailleurs là que réside notamment leur " liberté pédagogique ". Il faudrait être fou ou naïf pour penser qu'il existe un mode d'enseignement unique, adapté à tous les élèves, à tous les maîtres et à tous les contenus (même en se limitant aux mathématiques). L'expérience a largement montré que, si les choix d'enseignement peuvent et doivent être éclairés par la recherche et la théorie (ou plutôt les théories, didactiques, psychologiques…), ils ne peuvent pas en être une application, par dérivation directe. Rémi Brissiaud reconnaît d'ailleurs que " les programmes en eux-mêmes interdisent très peu de choix pédagogiques, beaucoup moins en tous cas que les documents annexés ". Par contre, les choix d'enseignement se trouveraient limités si on intégrait aux programmes des préconisations telles que celles qu'il fait concernant l'enseignement de la division, par exemple.

Enfin, les programmes n'intègrent que faiblement la question de l'évaluation, ce qui est d'ailleurs normal. Pourtant son influence sur l'enseignement est importante. Bien qu'étant un instrument de mesure imprécis, elle constitue un outil de pilotage non négligeable. Il est aisé de montrer que toute évaluation sélectionne dans le champ des contenus, qu'elle ne permet pas toujours de bien observer ce qu'elle se propose d'étudier et que, d'un autre côté, elle agit sur le système (maître, élève, savoir) au moins autant qu'elle ne l'observe. Elle modifie en effet les rapports entre maîtres et élèves et entre ceux-ci et les savoirs étudiés. Une formule permet de résumer une partie de ce débat sous-estimé : l'élève apprend-il pour savoir ou pour réussir aux questions que proposent l'école, pour la note ou pour la connaissance ? Cette question est parfois posée, mais pas suffisamment, et elle est rarement abordée au fond et en examinant les conséquences qui pourraient en être tirées sur le système scolaire tout entier.

Efficacité et durée de vie des programmes

La première vague d'élèves dont l'enseignement des mathématiques aura été entièrement piloté par les programmes entrés en vigueur à la rentrée 2002 entrera au collège à la rentrée 2007. Or, chacun sait, par ailleurs, que l'assimilation de nouveaux programmes par les enseignants prend du temps. Il suffit pour cela de remarquer que l'existence même des documents d'application ou d'accompagnement n'est pas toujours connue et que les manuels utilisés sont parfois antérieurs à 2002. Enfin, les moyens accordés à la formation continue n'ont pas toujours permis l'accompagnement nécessaire à l'appropriation de nouveaux programmes dans toutes les disciplines enseignées à l'école élémentaire. Et cette situation ne semble pas devoir s'améliorer. De premières données peuvent bien entendu être recueillies, mais il faut du temps pour pouvoir apprécier les effets réels d'une modification des programmes.

Aujourd'hui, les enseignants ont sûrement plus besoin de sérénité, de temps, de formation et de la confiance des responsables du système éducatif que de vaines polémiques autour des programmes. Il est normal d'introduire des modifications dans les programmes, mais les changer tous les 5 ans ou même tous les 10 ans, sans étude approfondie, c'est courir le risque de discréditer à l'avance tout nouveau changement. Mieux vaut travailler à améliorer et compléter les outils destinés à épauler les enseignants dans leur tâche difficile et à dynamiser les rencontres entre enseignants pour répondre à leurs interrogations.

Les programmes de 2002 et l'enseignement de la division

Dans son texte, Rémi Brissiaud évoque principalement quatre points, qui ne sont pas repris ici dans le même ordre :
- la division posée
- la conceptualisation de la division
- le signe de la division
- la comparaison avec l'apprentissage de la soustraction
Je me propose de reprendre rapidement ces quatre points.

Division posée

A l'appui de son argumentation, Rémi Brissiaud mentionne à plusieurs reprises dans son texte( 4 ), que "les programmes de 2002 proposent de ne commencer à poser des divisions qu'au… CM2" (p. 3) ou encore que "il est spécifié dans les documents d'application que l'apprentissage des divisions posées en potence doit commencer au CM2" (p. 24). Plus loin, il évoque "le calcul posé d'une division programmé, rappelons-le, par ces mêmes documents au CM2". Il y a là une sollicitation abusive des textes qui met à mal une bonne partie de l'argumentation de Rémi Brissiaud. En effet, aucune indication de ce type ne figure dans les programmes eux-mêmes (qui, seuls, faut-il le rappeler ont un caractère d'obligation). La seule référence que peut produire Rémi Brissiaud se trouve dans le document d'application pour le cycle 3, dans une partie annexe intitulée "Eléments d'aide à la programmation" dont le chapeau indique clairement : "Il (ce document) propose une programmation des apprentissages sur les trois années du cycle 3. Il n'a aucun caractère d'obligation. Chaque équipe de cycle, dans chaque école, peut s'en inspirer pour établir sa propre programmation et, surtout, réfléchir aux activités à mettre en place pour permettre aux élèves de s'approprier les compétences du programme". On est très loin de textes "disant qu'il ne faut pas poser de division avant le CM2" (p. 29) ! Tout au contraire, le tableau auquel se réfère Rémi Brissiaud propose d'approcher, de préparer la division posée dès le CE2 et de la construire et de la structurer au CM2. Rien n'empêche donc de poser de division, avec la potence, dès le CE2 pour préparer une technique qui peut n'être effectivement stabilisée qu'au CM2. Les auteurs de manuels ne s'y sont d'ailleurs pas trompés : ils proposent tous des divisions posées dès le CM1 (ou dès le CE2 pour certains), sans être en contradiction avec le programme. C'est justement pour laisser aux équipes d'enseignants le choix d'une programmation de cet apprentissage que la phase de "construction, structuration" a été proposée pour le CM2. La contrainte pour les équipes aurait été beaucoup plus forte si elle avait été mentionnée au CE2 ! La proposition faite dans le document d'application s'expliquerait par l'influence exercée par les travaux de l'équipe ERMEL qui propose au CM1 une technique intermédiaire (p. 26). En l'occurrence, l'argument tombe à plat dans la mesure où le document d'accompagnement des programmes ne suggère qu'une seule technique… celle que Rémi Brissiaud propose de mettre en place. Pour l'anecdote, j'ajoute que, dans les ouvrages publiés sous ma seule responsabilité, seule cette technique est également enseignée.

Conceptualisation de la division

En préalable à l'analyse du processus de conceptualisation, Rémi Brissiaud évoque ce qu'est un concept et reconnaît que la réponse peut varier selon la nature du concept. Même à l'intérieur des mathématiques, il n'est pas sûr d'ailleurs qu'une réponse commune puisse être donnée, selon qu'on s'intéresse au concept de nombre naturel (fortement relié aux quantités et donc aux collections d'objets), de nombre irrationnel (qui répond à une interrogation interne aux mathématiques), de nombre premier ou de dérivée, par exemple.
Gérard Vergnaud( 5 ) apporte une réponse plus complète, en considérant un concept comme un triplet de trois ensembles :

• l'ensemble des situations qui donnent du sens au concept (la référence) ;
• l'ensemble des invariants sur lesquels repose l'opérationnalité des schèmes (le signifié) ;
• l'ensemble des formes langagières et non langagières qui permettent de représenter symboliquement le concept, ses propriétés, les situations et les procédures de traitement (le signifiant).

Et il ajoute "Il n'y a pas en général de bijection entre signifiants et signifiés, ni entre invariants et situations. On ne peut donc réduire le signifié ni aux signifiants, ni aux situations". Plus loin, concernant la conceptualisation, il formule la thèse suivante : "Le symbolisme mathématique n'est à rigoureusement parler ni une condition nécessaire ni une condition suffisante de la conceptualisation, mais il contribue efficacement à cette conceptualisation, notamment pour la transformation des catégories de pensées mathématiques en objets mathématiques", ajoutant : "Cette importance accordée au symbolisme n'empêche pas que, en dernier ressort, c'est l'action du sujet en situation qui constitue la source et le critère de la conceptualisation".

Il en ressort que la conceptualisation est un processus long et complexe que l'école doit permettre à l'élève de réaliser, que ce processus n'est jamais complètement achevé et qu'il serait sûrement utile, pour l'enseignement, d'envisager des " niveaux de conceptualisation " en même temps que des " niveaux de formulation " plutôt que de penser qu'un concept est mis en place une fois pour toutes, à un moment donné. Tout en faisant le choix éclairé d'une démarche (toutes ne se valent pas et leur évaluation est légitime, mais difficile), l'enseignant doit tenir compte du fait que les chemins de la conceptualisation ne sont pas uniques et peuvent varier d'un élève à l'autre.

Il n'est pas contestable que le concept de division euclidienne s'enracine dans le fait qu'il permet de traiter différents types de questions et notamment celles qu'évoque Rémi Brissiaud : recherche du nombre de parts et recherche de la valeur de chaque part (dans des situations de partages, de groupements( 6 ) … en parts égales).
Il faut aussi souligner immédiatement que l'équivalence entre les procédures qu'il appelle de " partage " et de " groupement " n'est avérée que dans le cas de situations qui font intervenir des quantités discrètes non fractionnables.
Dans le cas de grandeurs continues ou de quantités fractionnables, le problème se complique. En effet dans les deux cas suivants, cette équivalence n'est plus assurée :

• Partager équitablement un fil de 163 cm en morceaux de 50 cm (combien de morceaux ?) relève de la division euclidienne.
• Partager équitablement un fil de 163 cm en 50 morceaux (quelle est la longueur d'un morceau ?) relève de la division décimale (sans reste).

A la question de savoir comment amener les élèves à penser la division comme permettant de résoudre à la fois les problèmes de recherche de nombre de parts et de recherche de la valeur d'une part, Rémi Brissaud apporte une réponse (celle qu'il propose dans ses moyens d'enseignement) qu'il semble présenter comme la seule possible, argumentée à partir de l'idée qu'il faut enseigner d'emblée l'équivalence par une mise en scène "sémantique". Cette approche n'est pas sans fondement, mais il serait tout à fait excessif de prétendre qu'elle s'impose par rapport à d'autres. Elle peut d'ailleurs être discutée sur quelques points, notamment :

• Pour l'essentiel, on "montre" aux élèves l'équivalence, sans véritablement la problématiser et élaborer, avec les élèves, des modèles de résolution dont l'efficacité est notamment liée aux habiletés calculatoires des élèves.
• Le processus de généralisation du raisonnement évoqué p. 20 (concevoir le nombre de tours de distribution comme égal à la part de chacun, après s'être arrêté après un tour de distribution) dans une contexte particulier (partage de cubes) à d'autres contextes est une des clés de la modalité d'apprentissage proposée : les difficultés d'une telle généralisation sont sans doute sous-estimées.
• En reprenant l'argument selon lequel "lorsque le progrès ne se déroule pas comme on pourrait l'espérer ce n'est pas si grave parce que tout est fait pour que l'autre forme d'apprentissage de la résolution de problèmes, l'apprentissage à partir de résolutions-types, puisse avoir lieu, comme avant 1970…" (p 22) est quand même étonnant dans la mesure où quelques pages plus haut cette forme d'apprentissage est jugée (à juste raison) élitiste (p 15). Comment cette forme "élitiste" peut-elle permettre de rattraper des élèves avec lesquels une forme moins élitiste n'aurait pas réussi ?

On peut imaginer d'autres ingénieries dans lesquelles la progression est différente, l'activité des élèves davantage sollicitée, de même que l'argumentation entre élèves (dans une stratégie d'enseignement plus implicative). L'équipe ERMEL en propose une qui n'est sans doute pas exempte de défauts, et d'autres sont certainement envisageables. En particulier, la question de savoir s'il faut partir de l'équivalence évoquée dans l'article pour installer la division ou faire de cette équivalence une étape dans l'installation de la division peut sans doute recevoir des réponses variées, ce qui explique aussi que les programmes et les documents annexes ne prennent pas de position définitive à ce sujet.

Signe de la division

La question du signe de la division est une question récurrente, souvent mal tranchée, ce qui n'est pas sans conséquence sur certaines difficultés rencontrées par les élèves. Pour la division euclidienne, Rémi Brissiaud propose une solution " simple " (selon lui) qui consiste à écrire 163 : 50 ? et à répondre q = 3 et r = 13. Cette proposition mérite d'être discutée, car elle ne souffre pas des inconvénients majeurs de notations comme 163 : 50 = 3 (reste 13) parfois utilisées.
Une difficulté liée à ce choix peut d'abord être analysée sur le plan mathématique. Dès la fin de l'école primaire, les élèves sont confrontés non pas à la division, mais à deux divisions :

• La première, appelée division euclidienne, permet d'associer à deux nombres (par exemple 163 et 50), deux autres nombres, le quotient entier (ici 3) et le reste (ici 13).
• La deuxième, appelée division (parfois division " exacte "), associe à deux nombres, un seul nombre appelé quotient : à 163 et 50 est associé 3,26 et on peut donc écrire 163 : 50 = 3,26. Dans certains cas, le quotient est entier (56 : 7 = 8), dans d'autres il est décimal, dans d'autres encore, il est non décimal et ne peut s'écrire que sous forme de fraction (14 : 6 = 7/3).

La proposition de Rémi Brissiaud n'est donc pas sans inconvénient. On peut en citer quatre :

• le signe de la division euclidienne et celui de la division (parfois appelée exacte) sont les mêmes, alors qu'il s'agit de deux concepts mathématiques différents ;
• le signe introduit pour la division euclidienne n'est pas de même nature que les signes arithmétiques habituels. On peut par exemple écrire des égalités entre expressions comme 14 x 6 = 2 x 42, ce qui permet de décrire des calculs comme 24 x 12 = 24 x 10 + 24 x 2. Cela est évidemment impossible avec cette notation : 163 : 50 ? donne bien le même quotient que 326 : 100 ?, mais pas le même reste ;
• cette notation n'a pas d'avenir pour les élèves, en dehors du contexte de la classe : elle n'est ni reconnue par la communauté mathématique, ni utilisée dans la suite de la scolarité ;
• elle masque le fait que, en réalité la division euclidienne "cache" deux opérations, l'une qui à deux nombres associe leur quotient entier et l'autre qui, à ces deux nombres, associe le reste. Idéalement, il faudrait donc utiliser deux signes, l'un exprimant le quotient entier (du type 163 q 50 = 3, ce qui permet d'écrire 163 q 50 = 326 q 100), l'autre exprimant le reste [du type 163 r 50 = 13, ce qui conduit à écrire 163 r 50 ? 326 r 100 ou de préciser 326 r 100 = 2 x (163 r 50)]. Cette solution, proposée dans ERMEL avec d'autres notations, paraît peu viable à l'école primaire et conduit également à introduire un symbolisme "à durée déterminée".

Rémi Brissiaud regrette que les programmes ne préconisent aucun symbole pour la division avec reste, et "ne recommandent pas l'utilisation d'une écriture comme 37 : 5 ?" (p. 24). On comprend aisément la position prudente des rédacteurs des programmes en considérant l'analyse ci-dessus et en soulignant que la proposition de Rémi Brissiaud n'est reprise par aucun autre auteur de manuel. Il est par contre erroné, à nouveau, de prétendre que les élèves "n'ont pas la potence" avant le CM2. Rien n'interdit à un enseignant, dès qu'il aborde la division, de faire écrire quelque chose comme

notation qui sera réutilisée au moment de la mise en place de la technique de calcul posé. Comme l'indique les programmes, il est cependant nécessaire de valoriser l'égalité caractéristique de la division euclidienne : 163 = (50 x 3) + 13.

Apprentissage de la division et apprentissage de la soustraction

Rémi Brissiaud évoque un manque de cohérence dans les programmes entre les positions prises sur la conceptualisation de la soustraction et la conceptualisation de la division. Relevons déjà la contradiction entre l'affirmation selon laquelle les programmes sont "silencieux concernant la conceptualisation de la division" (p. 24) et celle selon laquelle il y aurait "manque de cohérence" entre les deux (p. 30).

On soulignera simplement quelques différences qui peuvent exister entre ces deux "opérations" qui pourraient à elles seules justifier des approches différentes.

Premièrement, alors qu'il existe bien deux "divisions", il n'existe qu'une seule soustraction.
Deuxièmement, alors que la relation entre addition et soustraction est très forte (la soustraction est l'opération inverse de l'addition : 46 - 17 = … est équivalent à 17 + … = 46), la relation entre multiplication et division euclidienne est plus délicate (la division euclidienne n'est pas l'opération inverse de la multiplication, la recherche du quotient entier revient seulement à chercher un encadrement entre deux multiples du diviseur).
Troisièmement, la technique de l'addition à trou posée (par exemple 89 + … = 537) est plutôt plus simple à calculer que la soustraction posée 537 - 89, ce qui dissuade d'ailleurs certains élèves de passer à la soustraction.
Quatrièmement, l'équivalence " sémantique " entre recherche d'un complément, d'un écart et du résultat d'un retrait pour la soustraction est beaucoup plus facile à penser que celle entre recherche du nombre de parts et de la valeur d'une part pour la division. Il n'est pas naturel, mais assez facile à illustrer et exprimer, d'envisager d'enlever une partie d'un tout pour déterminer un complément ou, pour un écart, de se demander ce qu'il faudrait enlever au plus grand pour l'égaliser avec le plus petit…
Cinquièmement, les raisonnements précédents (donc les équivalences qu'ils justifient) fonctionnent aussi bien avec des grandeurs continues (longueurs, par exemple) qu'avec des quantités formées d'objets insécables.
Sans aller au-delà, ces différences de nature entre soustraction et division euclidienne montrent qu'un parallèle entre les deux apprentissages ne peut pas être fait trop rapidement.

Les programmes de 2002 et l'enseignement des fractions

Je serai plus rapide sur ce sujet qui mériterait de longs développements, en n'évoquant qu'un seul argument. L'enseignement des fractions à l'école élémentaire est justifié par le fait qu'il peut être utile à la compréhension des nombres décimaux. L'objectif essentiel est du côté de l'enseignement des nombres décimaux dont il s'agit d'assurer une bonne maîtrise. L'enseignement des fractions comme moyen de répondre à toutes les questions du type a × x = b relève du collège et en constitue même un axe fort pour les apprentissages numériques. La question s'est donc posée de savoir de quelles fractions les élèves avaient besoin pour élaborer une compréhension correcte des nombres décimaux. Comme la dizaine correspond au groupement de 10 unités, le dixième correspond un fractionnement en dix de l'unité… Pour comprendre cela, ce que certains appellent la fraction partage (2/3 conçu comme deux fois un tiers ou 3/10 comme 3 fois un dixième) est suffisant. Le programme de sixième prévoit explicitement, dans ses commentaires, que soit établie avec les élèves l'équivalence entre la fraction partage et la fraction quotient.