Quelle place pour l’intuition, les émotions dans l’apprentissage des mathématiques ? En est-il autrement en mathématiques que pour d’autres disciplines ?
Le stéréotype des mathématiques froides est un contresens. Il provient d’une confusion entre le produit fini, qui doit effectivement passer au peigne fin de la logique, et le processus qui mène à sa production. Tant que les mathématiques sont produites par des humains, elles sont le fruit de la psychologie humaine. Tous les ressorts de la pensée, peu ou prou, s’y retrouvent donc.
L’intuition en premier lieu. Elle doit être placée au cœur de l’apprentissage des mathématiques. Elle en constitue l’un des moteurs, de l’enfance jusqu’à la pratique experte. Si la logique seule guidait les mathématiciens et mathématiciennes, cela signifierait qu’ils ne pourraient rien pressentir avant de l’avoir démontré. Mais comment pourraient-ils alors avoir la moindre idée de l’endroit où chercher ? Ce sont leurs intuitions qui leur permettent d’imaginer, de conjecturer, de reconnaître une piste prometteuse. La démonstration rigoureuse intervient ensuite pour établir qu’ils ont vu juste. On ne peut que souhaiter une démarche analogue pour les élèves.
Pour favoriser les apprentissages, nous croyons en l’importance du travail en classe sur des situations discordantes, qui mettent l’intuition à l’épreuve et sont susceptibles de conduire à l’erreur. Car l’univers mathématique a érigé la cohérence en mètre étalon, mais confronte aussi perpétuellement les humains, et les élèves en premier lieu, à l’imperfection de leur propre vision. Plutôt que d’y voir la marque d’une insuffisance de l’esprit humain face à la rigueur de la discipline, il importe d’y reconnaître l’occasion d’un dialogue fécond entre la pensée humaine et le monde mathématique. Chercher son chemin dans cet écart constitue un moteur d’apprentissage extrêmement précieux : c’est en quelque sorte le « cœur du réacteur ».
La progression vers une maîtrise conceptuelle passe par l’articulation de situations concordantes et discordantes. Les premières soutiennent les acquisitions en prolongeant les intuitions ; les secondes donnent l’occasion de dissocier les caractéristiques de surface des relations mathématiques sous-jacentes, de les travailler jusqu’à en élargir les conditions d’usage et en révéler la portée. C’est ainsi que l’intuition, loin d’être abandonnée au profit du formalisme, peut elle-même se transformer, s’affiner et gagner en portée.
Et les émotions, bien sûr. La vie mathématique, c’est l’ascenseur émotionnel garanti presque en permanence, bien loin de l’austérité stéréotypée. Si elles peuvent submerger les mathématiciens et mathématiciennes lors de leurs plus belles découvertes, elles irriguent en réalité toute la pratique mathématique. L’exploration offre d’innombrables occasions de ressentir curiosité, surprise, joie, satisfaction, confusion ou frustration. Certaines de ces émotions sont de puissants moteurs de l’apprentissage. Qualifiées d’épistémiques parce qu’elles naissent du rapport à la connaissance, elles accompagnent ce qui intrigue, résiste, surprend ou demande à être compris, et peuvent ainsi pousser à poursuivre l’exploration plutôt qu’à l’abandonner. Il y a en cela beaucoup plus en commun avec les autres disciplines qu’on ne l’imagine.
Ce qui singularise néanmoins les mathématiques, c’est la place qu’y occupe le formalisme. Une intuition peut être extraordinairement puissante, une conviction profondément ancrée : en dernier ressort, elles doivent respecter les exigences du formalisme. Mais ce serait une erreur d’en conclure que le formalisme et la pensée mathématique constituent deux mondes séparés. Ils sont au contraire profondément enchevêtrés. Les intuitions humaines conduisent à élaborer des constructions formelles qui, une fois établies, deviennent à leur tour de nouveaux outils pour penser. Les mathématiques ont ainsi cette spécificité : profondément humaines dans la manière dont elles se construisent et se pensent, elles prennent pourtant des formes qui s’affranchissent de ceux qui les ont conçues et viennent, en retour, transformer leur pensée.
Quels sont les apports ou éclairages de la psychologie, des sciences humaines pour l’apprentissage des maths ?
Depuis plusieurs décennies, les travaux en psychologie des apprentissages fournissent des éclairages qui restent encore insuffisamment présents dans la formation à l’enseignement. Dans notre ouvrage, nous parlons de « mathématiques incarnées » pour désigner les mathématiques telles qu’elles sont subjectivement vécues et mentalement manipulées par les individus. Si vous demandez à un mathématicien la définition d’un triangle, il donnera sans hésiter une définition tirée au cordeau. Si vous lui demandez comment il manipule mentalement les triangles, la réponse sera toute différente. Il existe un véritable phénomène d’appropriation : un concept mathématique formel se transforme lorsqu’il devient un objet de pensée pour une personne.
Par exemple, un champ de recherche développé depuis les années 1970, la psychologie des concepts, permet d’éclairer le processus d’appropriation. Il étudie la manière dont un individu construit ses concepts, qu’il s’agisse d’objets qui l’entourent, comme les chaises, ou de notions plus immatérielles, comme la liberté. Loin d’être mentalement représentés selon des « si et seulement si », avec des conditions parfaitement définies d’appartenance, les concepts s’organisent largement autour de prototypes, c’est-à-dire de membres particulièrement représentatifs. Ce sont eux qui viennent les premiers à l’esprit : lorsqu’on pense à un oiseau, il y a peu de chances que surgisse spontanément une poule ou un pingouin, plutôt qu’un pigeon, un moineau ou un merle. Face à un nouveau candidat, sa ressemblance avec ces prototypes joue alors un rôle important dans sa catégorisation.
En mathématiques, à tous les niveaux et y compris dans la pratique professionnelle, les prototypes, la capacité à en évoquer tout comme celle de s’en éloigner, jouent un rôle majeur. La variété des triangles qu’un enfant parvient à envisager peut ainsi être plus révélatrice de son appropriation du concept que sa seule capacité à en donner une définition : pense-t-il facilement à des triangles non équilatéraux, non isocèles, non rectangles, avec un angle obtus ? L’apprentissage consiste alors à élargir progressivement l’espace mental associé à un concept, en y faisant entrer des cas de moins en moins prototypiques. La psychologie invite ainsi à regarder au-delà de ce que l’élève sait définir ou énoncer, pour comprendre la richesse et l’organisation des représentations qu’il s’est construites.
Un second apport majeur de la psychologie concerne les mécanismes qui guident le raisonnement. Tout un champ de recherche a mis en évidence le rôle des analogies, cette capacité adaptative, présente dès la très jeune enfance, à appréhender la nouveauté à partir de ce qui est déjà connu. Lorsque Camille, à deux ans, dit qu’elle a « déshabillé l’orange » en montrant le fruit dont elle vient d’ôter la peau, elle nous offre un excellent exemple d’analogie. En mathématiques, les analogies sont tout aussi présentes. Les premières intuitions des notions prennent souvent appui sur des situations familières du monde extra-mathématique : l’ajout fournit une première intuition de l’addition, la perte de la soustraction, la réplication de la multiplication, le partage de la division. Ces analogies contribuent ainsi à former les prototypes des notions mathématiques élémentaires. Et leur rôle ne s’arrête pas là.
Les analogies restent un levier majeur d’apprentissage et de découverte jusqu’aux mathématiques les plus avancées. Un chapitre de notre livre accompagne par exemple le mathématicien Georg Cantor dans ses travaux sur l’infini. Ses découvertes ont notamment reposé sur l’abandon d’une analogie géométrique qui avait longtemps guidé, mais aussi entravé, la pensée de l’infini, puis sur l’adoption de nouvelles analogies qui lui ont permis d’explorer ce concept autrement. Le même mécanisme est à l’œuvre dans les apprentissages scolaires : repérer dans un problème nouveau une structure déjà rencontrée permet de mobiliser des connaissances acquises, de les transférer et, progressivement, d’étendre le champ de ce qui devient intelligible.
Entretien réalisé par Djéhanne Gani
De l’autre côté du tableau noir. Les mathématiques à visage humain, Hugo Duminil-Copin, Emmanuel Sander. Seuil, 2026. (384 p.)
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