Et « la bosse des maths » alors ? vous démontez là des mécanismes psychologiques pour désacraliser les mathématiques. Pouvez-vous expliquer ?
Effectivement, dès le premier chapitre de notre livre, nous battons en brèche une idée pourtant très répandue : les mathématiques seraient réservées à une petite fraction de la population, ceux qui auraient « la bosse des maths ». Nous qualifions cette vision de « fixiste » parce qu’elle enferme les individus dans ce qu’ils seraient supposés être, au lieu de considérer ce qu’ils peuvent devenir.
De nombreux arguments montrent l’absurdité de cette croyance. L’un des plus frappants est que notre culture elle-même est profondément mathématisée. Des notions qui ont demandé des siècles à l’humanité pour être inventées et acceptées sont aujourd’hui devenues tellement familières qu’elles semblent aller de soi. Le zéro, le signe « = » ou les nombres négatifs en sont de bons exemples. Un enfant se les approprie désormais en quelques années et acquiert ainsi des connaissances qui auraient été étrangères aux plus grands savants du passé.
La multiplication offre un autre exemple. Pour quelqu’un qui a été scolarisé, le fait que 3 × 50 et 50 × 3 donnent le même résultat paraît évident. Pourtant, une étude menée auprès de jeunes vendeurs des rues au Brésil montre à quel point cette évidence est construite. Ces adolescents, très habiles dans les calculs nécessaires à leur activité quotidienne mais peu ou pas scolarisés, conçoivent la multiplication uniquement comme une addition répétée. Face à 3 × 50, ils pouvaient ainsi calculer facilement 50 + 50 + 50. Mais face à 50 × 3, ils cherchaient à additionner 50 fois la valeur 3 et se perdaient dans le calcul, sans envisager d’inverser les facteurs pour retrouver le calcul très simple 50 + 50 + 50. Ils ont construit une conception efficace de la multiplication comme addition répétée, sans pour autant accéder à sa commutativité, c’est-à-dire au fait que l’ordre des facteurs peut être interverti sans modifier le résultat.
Ce qui est particulièrement intéressant dans cet exemple, c’est qu’une personne scolarisée a généralement oublié qu’elle a un jour dû apprendre cette propriété. À force d’être maîtrisées et utilisées, certaines connaissances deviennent si familières qu’elles cessent d’être perçues comme des acquis. On peut ainsi être convaincu de « ne pas avoir la bosse des maths » tout en mobilisant quotidiennement des connaissances mathématiques qui ont demandé des siècles à l’humanité pour être construites.
C’est en ce sens que la psychologie permet de désacraliser les mathématiques de manière féconde. Comprendre comment se construisent les intuitions, les concepts et les raisonnements enlève une part de mystère, et offre des moyens d’agir. Dès lors que les compétences mathématiques sont envisagées comme le produit d’une histoire d’apprentissage et de transformations successives, il devient possible de réfléchir aux conditions qui favorisent leur développement. C’est là un enjeu essentiel pour rendre les mathématiques à la fois plus accessibles et moins inégalitaires.
« Démystifier le phénomène, c’est se donner les moyens d’agir sur lui », écrivez-vous, s’agit-il d’une approche psychologique ou pédagogique ?
Prenons l’exemple d’un mythe que nous discutons longuement dans l’ouvrage : celui du moment Eurêka. L’image d’une illumination soudaine résume volontiers les grandes découvertes, avec l’image d’Épinal d’Archimède parcourant nu les rues de Syracuse en criant « Eurêka ! ». Ces illuminations existent, et elles peuvent s’accompagner d’un sentiment de joie exceptionnel que l’on aimerait voir chaque élève éprouver régulièrement au cours de sa scolarité. Leur caractère presque magique est en revanche trompeur. Derrière l’illumination se trouvent généralement des mois de travail, durant lesquelles évoluent les manières de voir, se construisent des hypothèses audacieuses et sont remises en cause des idées jusque-là tenues pour évidentes.
C’est exactement ce que montre l’un des moments Eurêka racontés dans notre livre. Après deux années passées à tenter de démontrer une conjecture, Hugo voit soudain s’emboîter les ingrédients essentiels de la preuve. L’instant a bien la fulgurance associée à l’idée d’Eurêka, mais il est le fruit d’un long cheminement. L’illumination est soudaine, mais tout ce qui l’a rendue possible s’est construit dans le temps.
C’est là que démystifier permet d’agir. Si la découverte des professionnels comme des enfants relevait d’un don mystérieux ou d’une illumination qui tombe du ciel, il resterait peu de prise pour la favoriser. Dès lors qu’elle est comprise comme l’aboutissement de processus que la psychologie peut étudier, tels que construire des intuitions, changer de représentation, faire des analogies, explorer des hypothèses, il devient possible de créer des situations qui les favorisent. L’approche est donc psychologique par les mécanismes qu’elle cherche à comprendre, et pédagogique par les conséquences que cette compréhension permet d’en tirer.
Dans ce livre, nous avons cherché à démystifier nombre d’idées reçues, toujours dans l’optique d’offrir une meilleure compréhension et d’en tirer des conséquences utiles pour l’apprentissage. Outre le moment Eurêka, citons la fameuse « bosse des maths », mais aussi l’idée que les mathématiques consistent essentiellement à faire des calculs et à manier des formules, ou le fait que la pensée mathématique se confondrait avec la logique, que la capacité d’abstraction serait innée, ou encore que l’expertise mathématique pourrait se passer de l’intuition. Surtout, nous avons cherché à sortir les mathématiques de l’image d’un monde clos, éloigné du réel, représentant un mode de pensée totalement indépendant de nos autres mécanismes psychologiques.
S’il fallait répondre en une seule phrase, le conseil serait : « Ne jamais rompre le fil de l’intuition des élèves. » C’est souvent là que le bât blesse : lorsque le fil est rompu, une formule, au lieu d’exprimer une idée, apparaît alors comme une succession de signes abscons. Il s’agit donc de tirer le fil sans le casser. Le progrès en mathématiques consiste en une conquête graduelle et lente de nouvelles intuitions.
Pour un enfant de 6 ans, l’idée que soustraire c’est enlever, est immédiatement intuitive. La plupart des élèves de début d’école primaire n’éprouvent ainsi aucune difficulté à résoudre par une soustraction un problème tel que : « Tom a 12 billes. Il en perd 5. Combien de billes lui reste-t-il ? » Il en va tout autrement lorsqu’il s’agit de chercher combien a été gagné : « Tom avait 5 billes. Il en gagne et maintenant il en a 12. Combien de billes Tom a-t-il gagnées ? » Presque deux années scolaires séparent la réussite à ces deux problèmes, car soustraire pour chercher un écart est beaucoup moins intuitif. Le risque est alors de chercher un mot-clé, un indice superficiel permettant de « décider » de l’opération : ici, faire une addition parce que l’on voit « gagner ». Une idée directrice pour l’enseignement consiste donc à prendre appui sur les intuitions des élèves pour leur permettre de les élargir et de les dépasser. Les mathématiciennes et mathématiciens les plus chevronnés fonctionnent d’ailleurs de la même manière : eux aussi commencent souvent avec des intuitions encore partielles des concepts qu’ils découvrent, avant d’en conquérir progressivement de nouvelles.
C’est ainsi que l’abstrait peut devenir concret. Nous citons dans notre livre cette admirable phrase du physicien Paul Langevin : « Le concret, c’est de l’abstrait rendu familier par l’usage. » La formule paraît paradoxale et décrit pourtant une réalité profonde de la pensée mathématique. Avec la pratique, une notion, aussi abstraite soit-elle, acquiert une épaisseur mentale qui permet de la manipuler comme quelque chose de concret. Cette concrétude s’enrichit lorsqu’on apprend à reconnaître une même notion sous des formes très différentes. La proportion, par exemple, peut s’incarner dans le partage d’un gâteau, la dilution d’un sirop, la pente d’un graphique… Rendre l’abstrait concret consiste ainsi à apprendre à reconnaître une même structure mathématique à travers une diversité de situations, jusqu’à ce qu’elle devienne à son tour intuitive. L’abstraction devient alors une formidable richesse : elle permet de percevoir ce qu’il y a de commun au-delà des différences.
Pour vous, les mathématiques ont aussi une utilité sociale. Pouvez-vous nous expliquer pourquoi ?
Oui, les mathématiques ont une utilité. Sans mathématiques, pas de science, pas de technologie. Et nous ne parlons pas uniquement des mathématiques dites appliquées, développées précisément en vue de leurs retombées, mais aussi des mathématiques les plus abstraites, celles qui, au moment où elles apparaissent, semblent parfois totalement déconnectées du monde réel.
Mais dans notre livre, nous allons plus loin. Nous défendons l’idée que cette utilité n’est pas seulement collective : elle est aussi individuelle, citoyenne. Nous consacrons tout un chapitre à cette question, en nous inscrivant complètement en faux contre cette affirmation d’un ancien ministre de l’Éducation selon laquelle, au quotidien, « les maths ne servent à rien, strictement à rien ». C’est tout le contraire.
Les mathématiques donnent à chacun des outils pour mieux comprendre le monde dans lequel il vit. Savoir distinguer corrélation et causalité, avoir une aisance avec des calculs simples, raisonner sur les probabilités, mettre un risque en perspective, interpréter correctement un pourcentage ou un graphique : tout cela contribue directement à l’exercice de l’esprit critique.
Les mathématiques permettent de résister à certaines conclusions qui s’imposent spontanément mais qui sont fausses. Un graphique dont l’échelle est tronquée peut donner l’impression d’une explosion là où l’évolution est minime. Un pourcentage sorti de son contexte peut conduire à tirer exactement la conclusion inverse de celle que les données suggéraient. Une succession de malchances peut donner l’impression qu’un événement favorable est désormais « dû », alors que sa probabilité n’a pas changé. Les mathématiques ne suppriment évidemment pas les biais cognitifs, mais elles fournissent des concepts qui permettent de mettre ces premières impressions à l’épreuve.
Et c’est là que leur utilité devient pleinement citoyenne. Dans un espace public saturé de chiffres, de sondages, de graphiques et d’informations parfois orientées, savoir raisonner mathématiquement aide à distinguer, comparer, proportionner, vérifier. Les mathématiques ne sont donc pas seulement un moteur du développement scientifique et technologique : elles constituent avant tout, pour chacun, un instrument de discernement.
Sommes-nous, donc, tous, des « homo mathematicus » ?
Oui, en un sens très profond, nous sommes tous des homo mathematicus. Cela ne signifie évidemment pas que nous sommes tous des professionnels ou des professionnelles des mathématiques en puissance, ni même que nous possédons tous les mêmes aptitudes. Mais bien avant l’école, nous développons déjà des manières de penser qui sont au cœur de l’activité mathématique : comparer, regrouper, ordonner, raisonner sur des quantités, repérer des régularités.
L’école ne crée donc pas la pensée mathématique à partir de rien. Elle rencontre un esprit qui possède déjà des intuitions, des représentations et des façons d’organiser le monde. Certaines constituent des appuis remarquables ; d’autres peuvent devenir des obstacles. L’enjeu de l’apprentissage est de les enrichir, de les transformer et de leur donner progressivement la puissance de l’abstraction et du formalisme.
C’est aussi l’un des fils rouges de notre livre : de l’enfant qui construit ses premiers concepts aux mathématiciens et mathématiciennes qui cherchent à en créer de nouveaux, il existe une forme de continuité. Leurs connaissances sont évidemment incomparables, mais certains ressorts de leur pensée se font étonnamment écho : partir de ce que l’on connaît, établir des analogies, essayer, se tromper, changer de représentation, faire jouer son intuition, et parvenir parfois à voir autrement un problème. Même les mathématiques les plus abstraites restent ainsi une activité profondément humaine, où interviennent la créativité, les émotions et la recherche de beauté.
C’est en ce sens que nous parlons d’homo mathematicus. Les mathématiques ne sont pas un territoire étranger auquel quelques-uns seulement auraient accès : elles prolongent et transforment des formes de pensée que nous partageons toutes et tous. L’enjeu de leur enseignement est précisément de permettre à chacun et chacune de développer ce potentiel et, ce
Entretien par Djéhanne Gani
De l’autre côté du tableau noir. Les mathématiques à visage humain. Hugo Duminil-Copin, Emmanuel Sander. Seuil, 2026. (384 p.)
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