Pourquoi ce livre ? Sur quels constats repose-t-il ?
L’ambition du livre est de changer le regard porté sur les mathématiques : montrer qu’elles ne sont pas réservées à quelques esprits particulièrement doués et que chacun possède les intuitions et une façon de penser qui permet d’apprivoiser cette discipline. L’enjeu est essentiel pour l’enseignement car concevoir autrement ce que signifie faire des mathématiques conduit aussi à repenser la manière de les enseigner.
Cette ambition est née de plusieurs constats.
Le premier est que les mathématiques restent entourées de représentations très réductrices. Elles sont souvent associées au calcul, aux formules, à la réussite scolaire ou à leurs applications. Or cette image laisse dans l’ombre une grande partie de ce que signifie réellement faire des mathématiques. Pourtant, les mathématiques, telles qu’elles se pratiquent et se pensent, sont beaucoup plus humaines qu’on ne l’imagine. Derrière les définitions, les formules et les démonstrations interviennent l’intuition, l’analogie, les représentations, les émotions, la créativité, les erreurs, les changements de point de vue ou encore les échanges avec les autres. Ces dimensions sont essentielles aussi bien chez l’enfant que chez les experts et expertes en mathématiques, et à tous les niveaux d’apprentissage. Pourtant, cette facette humaine reste largement invisible dans l’image habituelle de la discipline.
Enfin, un autre constat a été déterminant : l’expérience vécue des mathématiques et le regard de la psychologie sur la manière de penser et d’apprendre se rencontrent encore assez peu. Le mathématicien Jacques Hadamard l’avait formulé de manière très juste dans son fameux Essai sur la psychologie de l’invention dans le domaine mathématique : « Pour traiter ce sujet de manière adéquate, il faudrait être à la fois psychologue et mathématicien. » Le projet de ce livre a donc été de réunir dans une même écriture ce que la pratique des mathématiques de haut niveau permet d’en comprendre de l’intérieur et les éclairages de la psychologie des apprentissages sur les manières de penser et de développer ses connaissances. Le livre cherche ainsi à rendre visibles les multiples dimensions qui interviennent lorsque l’on fait des mathématiques, des premiers apprentissages jusqu’à la recherche. L’originalité de cet ouvrage réside notamment dans le fait que les deux apports sont progressivement devenus indissociables au fil de l’écriture.
Il est question de l’enseignement des mathématiques. Vous écrivez qu’ « un malentendu tenace dans l’enseignement des mathématiques tient à cela : accorder une place centrale à l’exécution d’algorithmes au détriment de la compréhension de ce qu’ils permettent, de leur portée et de leurs conditions d’application ». Faut-il revoir l’enseignement des mathématiques en France ?
La question de l’enseignement des mathématiques est très présente dans notre livre. La maîtrise technique et formelle occupe traditionnellement une place importante dans l’image que l’on se fait des mathématiques et de leur enseignement. Il ne s’agit certainement pas de renoncer aux techniques, aux algorithmes ou au formalisme, qui sont indispensables, mais de reconsidérer la place qu’on leur donne : qu’ils soient au service de la compréhension et du raisonnement.
Lorsqu’on voit une personne écrire et transformer une formule, nul ne doute qu’elle est en train de faire des mathématiques. Lorsque la même personne visualise mentalement l’image décrite par cette même formule et tente, toujours mentalement, de la manipuler, cela paraît bien moins évident. Pourquoi cette impression trompeuse ? Parce que ce que l’on voit le plus immédiatement des mathématiques, c’est leur formalisme, c’est-à-dire la langue dans laquelle les idées mathématiques sont exprimées dans les livres. Le risque est alors de confondre la trace écrite de l’activité mathématique avec l’activité mathématique elle-même.
Une formule, une écriture ou un algorithme prennent leur sens par les idées qu’ils expriment et les raisonnements qu’ils permettent. Exécuter un algorithme sans bien comprendre ce qu’il permet de faire, pourquoi il fonctionne ou dans quelles situations il est pertinent peut donner à l’élève le sentiment d’une discipline faite de règles arbitraires à appliquer.
Ce fossé entre maîtrise des procédures et compréhension peut contribuer aux difficultés rencontrées par certains élèves et au rejet des mathématiques. À l’extrême, exécuter correctement une procédure sans en saisir le sens revient à réciter un texte dans une langue étrangère que l’on ne comprend pas.
L’enjeu n’est donc pas d’opposer automatisation et compréhension. Il est évidemment nécessaire de maîtriser et d’automatiser certaines procédures. Mais apprendre les mathématiques, c’est aussi comprendre pourquoi une procédure fonctionne, savoir quand elle s’applique, pouvoir représenter un même problème de différentes manières, comparer des stratégies et changer de point de vue lorsqu’une première approche s’avère infructueuse. C’est cette activité de compréhension, de représentation et de raisonnement qu’il nous semble essentiel de mettre au cœur de l’enseignement des mathématiques.
Les résultats des élèves français en mathématiques se situent en bas de tableau dans les derniers classements internationaux. Comment l’analyser ? Avez-vous des éléments de comparaison des méthodes d’enseignement, de la pédagogie dans d’autres pays ?
Les résultats français sont préoccupants, mais il s’agit de préciser de quoi l’on parle. Dans TIMSS 2023, qui évalue des connaissances assez directement liées aux programmes scolaires, la France se situe nettement sous les moyennes européennes et de l’OCDE, aussi bien en CM1 qu’en quatrième. À 15 ans, le tableau donné par PISA est un peu différent : la France se situe autour de la moyenne de l’OCDE, mais avec une baisse importante des performances en mathématiques depuis 2018 et un poids particulièrement fort de l’origine sociale.
Ces enquêtes permettent aussi d’examiner plus finement certaines difficultés. Ainsi, dans TIMSS 2019, seuls 7 % des élèves d’écoles françaises réussissent à identifier toutes les fractions supérieures à 1/2, dans une série de 6 (1/3 ; 3/4 ; 5/6 ; 4/8 ; 3/10 ; 7/12), contre 21 % en Europe et 22 % à l’international. Un écart particulièrement marqué pour une propriété aussi fondamentale des fractions. On peut saisir ici précisément la nature de la difficulté : la tendance à comparer terme à terme numérateurs et dénominateurs, connue comme le « biais du nombre entier », conduit ainsi près de la moitié des élèves scolarisés en France à conclure à tort que 3/10 est plus grand que 1/2, car 3 > 1 et 10 > 2.
Il serait toutefois hasardeux d’attribuer ces résultats à une méthode d’enseignement particulière. Les pays qui réussissent le mieux ont des traditions pédagogiques, des programmes et des organisations scolaires très différents les uns des autres. Les comparaisons internationales invitent plutôt à regarder un ensemble de facteurs : la formation des enseignants, la progression des apprentissages, les contenus travaillés, les attentes envers les élèves, mais aussi les inégalités sociales et le rapport culturel aux mathématiques. Singapour est un bon exemple : la place donnée à la modélisation, notamment à travers des schémas, ou l’introduction plus précoce des fractions constituent des pistes intéressantes. Mais ces choix s’inscrivent dans un système plus large : en France, 18 heures annuelles sont inscrites dans le service des professeurs des écoles pour l’animation pédagogique et la formation continue, tandis qu’à Singapour les enseignants disposent de jusqu’à 100 heures par an pour leur développement professionnel. S’inspirer de l’étranger suppose donc de se demander non seulement quoi transposer, mais aussi dans quelles conditions cela peut fonctionner.
Notre livre apporte tout de même des pistes qui sont, à notre connaissance, rarement systématisées, y compris à l’échelle internationale. L’étude de manuels scolaires d’école primaire de différents pays montre une forte tendance à proposer des problèmes dont les situations évoquées, comme associer des fleurs à des vases, orientent spontanément vers l’opération attendue. Cette proximité avec l’intuition première peut dans un premier temps faciliter la compréhension. Mais si les élèves rencontrent trop peu de situations discordantes, c’est-à-dire qui les conduisent à dépasser ces associations contre-intuitives, ils risquent de construire une compréhension trop étroite des opérations. Comprendre réellement une notion mathématique suppose de pouvoir la reconnaître et la mobiliser dans des situations moins familières, ce qui devient particulièrement important lorsque des notions plus complexes, comme la proportionnalité, sont abordées.
Entretien réalisé par Djéhanne Gani
